证明勾股定理

本期封面上的数学元素，同学们看出来了吗？封面上展示了一块直角三角形的三明治，这块三明治的三边长分别是3、4、5。用一根3+4+5=12单位长并等距打结的绳子，就可以围成一个直角三角形，应用的实际原理就是勾股数。

勾股定理是几何中最重要也是最基本的定理之一。公元前12世纪，我国最早的数学著作《周髀算经》就记载了“勾三股四弦五”，由于我国古代称两条直角边中较短的为勾，较长的为股，斜边为弦，因此大家都习惯性地把这个命题叫勾股定理。2000多年前，古希腊的毕达哥拉斯证明了勾股定理，因此它又被称为毕达哥拉斯定理或毕氏定理。

什么是勾股定理？用数学语言陈述为：直角三角形斜边c的平方等于两直角边a、b的平方和，用数学公式表示为：c²=a²+b²。

有趣的证明方式

数学爱好者们很喜欢勾股定理，往往以从一个新角度证明它为荣。在国外，有人写了一本书，列举了370多种勾股定理的证法；在国内，也有学者写了书，罗列了365种勾股定理的证法，可见勾股定理是多么地吸引人。我们接下来就介绍一些有趣的证法。

证法1：赵爽弦图证法

我国最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，他用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。

在这幅弦图中，4个直角三角形大小相同，两条直角边长分别为a、b，斜边长为c。大正方形的边长就是斜边，也为c，里面的小正方形的边长为（b-a），因此可以写出等式：

化简得：c²=a²+b²，即得证。

证法2：弦图的另一种证法

这个证法是在赵爽弦图的基础上衍生出来的。图中有两个边长为（a+b）的大正方形。左侧的大正方形的面积是：

；右侧的大正方形面积是：

两个大正方形面积相等，可以写出等式：

化简得：c²=a²+b²，即得证。

证法3：张景中证法

我国著名数学家、中国科学院院士张景中也提出了一种勾股定理的证法，该证法想象力十足。

张景中教授的证明过程是这样的：把直角三角形△ABC绕直角顶点C顺时针转90°到

的位置，显然

，设

延长后交AB于D。根据几何学知识，有：

将三角形的边长代入面积公式，有：

最后化简得：c²=a²+b²，即得证。

证法4：加菲尔德证法

1876年，美国第20任总统加菲尔德在《新英格兰教育日志》中给出了一种勾股定理的证法，这种证法简单易懂，被称为“加菲尔德证法”，又称“总统证法”。

在这种证法中，两个直角边为a、b，斜边长为c的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形组成了一个梯形，梯形的高为（b+a），因此可以写出等式：

化简得：

，即得证。